ヒント
数学の問題でわからないものがあった場合の対処方法は、
具体的に書き出してみること
です。手を動かして実際に作業してみると、何かを発見することがあります。既存の知識に当てはめようとして頭を抱えて考え込んでいるだけでは、前に進まないことが多いです。とにかく自分でやってみる、という態度が良い結果をもたらすことにつながります。実際に、2の累乗を計算してみると
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| \(2^{n}\) | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 | 8192 | 16384 |
| 最高位の数字 | 2 | 4 | 8 | 1 | 3 | 6 | 1 | 2 | 5 | 1 | 2 | 4 | 8 | 1 |
最高位の数字は「１」が最も多く4個あります。その次は「２」で3個となります。最高位の数字の列に何か規則性はないでしょうか。
例えば、最高位の数字が「１」の場合、次の最高位の数字は「２」か「３」になります。なぜならば、最高位の数字が「１」の数は、
１０００・・・・・０から１９９９・・・・・９
までのいずれかであるので、これに２をかけた数は
２０００・・・・・０から３９９９・・・・・８
となるからです。このように、ある数に２をかけた数の最高位の数字は、ある程度限定されます。ここでは、最高位の数字が「１」の場合のみ調べてみましたが、他の数字の場合も調べてみましょう。答は次のページです。
コメント
こんな問題を創作したTommy先生もすごいけど、それに正面から挑む生徒たちもすごいですね。
kを2以上の自然数とする。A(k)={2n|2nはkケタの自然数}とすると、A(k)の要素に最高位の数字が「１」のものがただ一つある。
という発見が、生徒の解答の鍵ですが、これは、実際に書き出して、よく観察する中で、見いだしたものだと思われます。
数学の問題を解くときの、お手本的態度ですね。
いやぁ、お見事でした。
コメントありがとうございます。
生徒たちの意欲というか粘りはすごいです。
こういう姿勢が、国公大学の2次試験で合格点をとるパワーの源になります。