\(n!\)は、異なる\(n\)個の\(n!\) の約数の和で表すことができることを証明せよ

\(3!,~4!~,5!\) を実際に \(n\)個の約数の和で表してみて、気付くことがあります。

\(3!=3+2+1\) の両辺に \(4\) をかけると、

\(4!=12+8+4\) になります。

その最後の \(4\)を\(3+1\) に分ければ、

\(4!=12+8+3+1\)　と \(4\) 個の約数の和で表されました。
その両辺に \(5\) をかけると、

\(5!=60+40+15+5\)

\(=60+40+15+4+1\) とすれば、\(5\)個の約数の和で表されます。

以下、同じことを繰り返せばいいわけです。使うのは、当然、数学的帰納法です。