合同式 \(\rm mod\) をすべての高校生に！！

引き算は、足し算と同じなので、ここでは、かけ算とべき乗をやってみましょう。和の場合と同じように、余りの計算の必要な部分にアンダーラインを引いて、合同式の定義に従って併置します。

合同式のかけ算

例　\(a\) を \(5\) で割った余りが \(3\)、\(b\) を \(5\) で割った余りが \(2\)であるとき、\(ab\) を \(5\) で割った余りを求めよ。

元の計算	合同式
\(k,~l\) を整数とすると、\(a=5k+\underline{3},~b=5l+\underline{2}\)	\(a\equiv3,~b\equiv2\pmod5\)のとき、
\(ab=(5k+\underline{3})(5l+\underline{2})\)	\(ab\)
\(=25kl+5k\times2+5\times3l+\underline{3\times2}\)	\(\equiv3\times2\pmod5\)
\(=5(5kl+2k+3l)+\underline{6}\)	\(\equiv6\pmod5\)
\(=5(5kl+2k+3l+1)+\underline{1}\)	\(\equiv1\pmod5\)

例　\(a\) を \(5\) で割った余りが \(3\)であるとき、\(a^3\) を \(5\) で割った余りを求めよ。

元の計算	合同式
\(k\)を整数とすると、\(a=5k+\underline{3}\)	\(a\equiv3\pmod5\)のとき、
\(a^3=(5k+\underline{3})^3\)	\(a^3\)
\(=5^3k^3+3\cdot5^2\cdot3k^2+3\cdot5\cdot3^2k+\underline{3^3}\)	\(\equiv3^3\)
\(=5(25k^3+45k^2+27k)+\underline{27}\)	\(\equiv27\pmod5\)
\(=5(25k^3+45k^2+27k+5)+\underline{2}\)	\(\equiv2\pmod5\)

このように、合同式の計算では、足し算、引き算、かけ算、べき乗の計算が等式の計算と同じようにできることが分かります。

これだけで解答の大幅な省力化できる！

以上のように、合同式は決して難しくありません。数学が苦手な人でも、簡単に使いこなすことができます。たったこれだけでも、次のような余りの問題を解く際、大幅な答案の簡潔化をすることができます。

\(n\) を \(5\) で割った余りが \(2\) であるとき、\(n^6\) を \(5\) で割った余りを求めよ。

\(n=5k+2~~\)(\(k\) は整数) とおいて、\(n^6=(5k+2)^6\) を二項定理で求める気にはなれませんよね。しかし、合同式を使うと瞬殺です。

\(n\equiv2\pmod5\) のとき、\(n^6\equiv2^6\equiv64\equiv4\pmod5\)

\(n\) は自然数とする。合同式を用いて、\(n^5＋n^2+2\)は\(3\) の倍数でないことを証明せよ。

[1] \(n\equiv0\pmod3\) のとき、
\(n^5+n^2+2\equiv2\pmod3\)
[2]\(n\equiv1\pmod3\)のとき、
\(n^5+n^2+2\equiv1^5+1^2+2\equiv4\equiv1\pmod3\)
[3]\(n\equiv2\pmod2\)のとき、
\(n^5+n^2+2\equiv2^5+2^2+2\equiv38\equiv2\pmod3\)
いずれの場合も、\(n^5+n^2+2\equiv0\) にならないから、題意は成り立つ。

ここまでの内容は、1時間程度で展開が可能です。すべての高校生に、合同式の便利さを学んで欲しいと強く思います。